2007年全国高考数学(理科)试卷(全国卷Ⅰ)+(答案解析)

出处:老师板报网 时间:2023-02-10

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2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=(  )A.B.C.D.2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=(  )A.B.1C.D.23.(4分)已知向量,,则与(  )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为(  )A.B.C.D.5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则ba=﹣(  )A.1B.﹣1C.2D.﹣26.(4分)下面给出的四个点中,到直线xy﹣+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是(  )A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)7.(4分)如图,正棱柱ABCDA﹣1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )A.B.C.D.8.(4分)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=(  )A.B.2C.D.49.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(  )A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=(  )A.3B.4C.5D.611.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是( )A.4B.C.D.812.(4分)函数f(x)=cos2x2cos﹣2的一个单调增区间是(  )A.B.C.D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有  种.(用数字作答)14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=  .15.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为  .16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为  . 三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.19.(14分)四棱锥SABCD﹣中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.20.(14分)设函数f(x)=exe﹣x﹣(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.22.(16分)已知数列{an}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,… 2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=(  )A.B.C.D.【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣.故选D. 2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=(  )A.B.1C.D.2【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,故选B. 3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.【解答】解:∵向量,,得,∴⊥,故选A. 4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为(  )A.B.C.D.【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,双曲线方程为,故选A. 5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则ba=﹣(  )A.1B.﹣1C.2D.﹣2【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b的值,计算可得答案.【解答】解:根据题意,集合,又∵a≠0,∴a+b=0,即a=b﹣,∴,b=1;故a=1﹣,b=1,则ba=2﹣,故选C. 6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线xy﹣+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是(  )A.(1,1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣1)D.(1,﹣1)【分析】要找出到直线xy﹣+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线xy﹣+1=0的距离都为,但∵,仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内故选C 7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCDA﹣1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )A.B.C.D.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D. 8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=(  )A.B.2C.D.4【分析】因为a>1,函数f(x)=logax是单调递增函数,最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1,所以loga2alog﹣aa=,即可得答案.【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a,logaa,∴loga2alog﹣aa=,∴,a=4,故选D 9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(  )A.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.【解答】解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2x﹣,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,故选B 10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=()A.3B.4C.5D.6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.【解答】解:的展开式中,常数项为15,则,所以n可以被3整除,当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,故选项为D 11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(  )A.4B.C.D.8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=1﹣,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),∴△AKF的面积是4故选C. 12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x2cos﹣2的一个单调增区间是(  )A.B.C.D.【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.【解答】解.函数=cos2xcosx1﹣﹣,原函数看作g(t)=t2t1﹣﹣,t=cosx,对于g(t)=t2t1﹣﹣,当时,g(t)为减函数,当时,g(t)为增函数,当时,t=cosx减函数,且,∴原函数此时是单调增,故选A 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种.(用数字作答)【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.【解答】解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种. 14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)= 3x(x∈R) .【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)故答案为:3x(x∈R) 15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为  .【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,∴an=a1qn1﹣,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),解.故答案为 16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 2.【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.【解答】解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴斜边EF的长为2.故答案为:2. 三、解答题(共6小题,满分82分)17.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.【分析】(1)先利用正弦定理求得sinB的值,进而求得B.(2)把(1)中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理,进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以,由△ABC为锐角三角形得.(Ⅱ)===.由△ABC为锐角三角形知,0<A<,0<﹣A<,∴<A<,,所以.由此有<,所以,cosA+sinC的取值范围为(,). 18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.【分析】(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,根据对立事件的概率公式得到结果.(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率,写出变量的分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”,∴.(Ⅱ)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,P(η=300)=1P﹣(η=200)﹣P(η=250)=10.40.4=0.2﹣﹣.∴η的分布列为η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元). 19.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥SABCD﹣中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(Ⅰ)证明:SA⊥BC;(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系Oxyz﹣,通过证明,推出SA⊥BC.(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.【解答】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO,又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,由三垂线定理,得SA⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,依题设AD∥BC,故SA⊥AD,由,,.又,作DE⊥BC,垂足为E,则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.所以,直线SD与平面SBC所成的角为.解法二:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系Oxyz﹣,因为,,又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,所以,直线SD与平面SBC所成的角为. 20.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=exe﹣x﹣(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号得到f\'(x)≥2;(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x≥0上求出a的取值范围即可.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的导数f\'(x)=ex+ex﹣.由于,故f\'(x)≥2.(当且仅当x=0时,等号成立).(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g\'(x)=f\'(x)﹣a=ex+ex﹣a﹣,(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g\'(x)=ex+ex﹣a﹣>2a﹣≥0,故g(x)在(0,+∞)上为增函数,所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.(ⅱ)若a>2,方程g\'(x)=0的正根为,此时,若x∈(0,x1),则g\'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.综上,满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2]. 21.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k26=0﹣.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k26=0﹣.设B(x1,y1),D(x2,y2),则,|BD|=;因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,所以,|AC|=.四边形ABCD的面积•|BD||AC|=.当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上,四边形ABCD的面积的最小值为. 22.(16分)(2007•全国卷Ⅰ)已知数列{an}中,a1=2,,n=1,2,3,…(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…【分析】(Ⅰ)先对进行整理可得到,即数列是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列的通项公式可得到,进而得到.(Ⅱ)用数学归纳法证明.当n=1时可得到b1=a1=2满足条件,然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=,进而可得证.【解答】解:(Ⅰ)由题设:==,.所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,即an的通项公式为,n=1,2,3,.(Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当n=1时,因,b1=a1=2,所以,结论成立.(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即,也即.当n=k+1时,==,又,所以=.也就是说,当n=k+1时,结论成立.根据(ⅰ)和(ⅱ)知,n=1,2,3,. 
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